Phần 1
BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bạn đang đọc: Đề cương ôn tập học kỳ II môn toán lớp 10
1. Bất phương trình và hệ bất phương trình
Các phép biến đổi bất phương trình:
a ) Phép cộng : Nếu f ( x ) xác lập trên D thì P. ( x ) < Q ( x ) \ ( \ Leftrightarrow \ ) P. ( x ) + f ( x ) < Q ( x ) + f ( x )
b ) Phép nhân :
* Nếu f ( x ) > 0, \ ( \ forall \ ) x \ ( \ in \ ) D thì P. ( x ) < Q ( x ) \ ( \ Leftrightarrow \ ) P. ( x ). f ( x ) < Q ( x ). f ( x )
* Nếu f ( x ) < 0, \ ( \ forall \ ) x \ ( \ in \ ) D thì P. ( x ) < Q ( x ) \ ( \ Leftrightarrow \ ) P. ( x ). f ( x ) > Q ( x ). f ( x )
c ) Phép bình phương : Nếu P. ( x ) \ ( \ ge \ ) 0 và Q. ( x ) \ ( \ ge \ ) 0, \ ( \ forall \ ) x \ ( \ in \ ) D thì P. ( x ) < Q ( x ) \ ( \ Leftrightarrow \ ) \ ( { P ^ 2 } ( x ) < { Q ^ 2 } ( x ) \ )
2. Dấu của nhị thức bậc nhất
a) Dấu nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b
* Chú ý: Với a > 0 ta có:
\ ( \ left | { f ( x ) } \ right | \ le a \ Leftrightarrow – a \ le f ( x ) \ le a \ )
\ ( \ left | { f ( x ) } \ right | \ ge a \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } f ( x ) \ le – a \ \ f ( x ) \ ge a \ end { array } \ right. \ )
3. Phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
a. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by \( \le c\) (1) (\({a^2} + {b^2}\)\( \ne 0\))
Bước 1: Trong mp Oxy, vẽ đường thẳng (\(\Delta \)): ax + by \( = c\)
Bước 2 : Lấy \ ( { M_o } ( { x_o } ; { y_o } ) \ notin ( \ Delta ) \ ) ( thường lấy \ ( { M_o } \ equiv O \ ) )
Bước 3 : Tính axo + byo và so sánh axo + byo và c .
Bước 4 : Kết luận
Nếu axo + byo < c thì nửa mp bờ ( \ ( \ Delta \ ) ) chứa Mo là miền nghiệm của ax + by \ ( \ le c \ )
Nếu axo + byo > c thì nửa mp bờ (\(\Delta \)) không chứa Mo là miền nghiệm của ax + by \( \le c\)
b. Bỏ bờ miền nghiệm của bpt (1) ta được miền nghiệm của bpt ax + by < c. Miền nghiệm của các bpt ax + by \( \ge c\)và ax + by \( > c\)được xác định tương tự.
c. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:
Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác lập miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại .
Sau khi làm như trên lần lượt so với tổng thể những bpt trong hệ trên cùng một mp tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bpt đã cho .
4. Dấu của tam thức bậc hai
a. Định lí về dấu của tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax2 + bx + c, a \ ( \ ne \ ) 0, \ ( \ Delta \ ) = b2 – 4 ac
* Nếu \ ( \ Delta \ ) < 0 thì f ( x ) cùng dấu với thông số a ( a .. f ( x ) > 0 ), \ ( \ forall \ ) x \ ( \ in \ ) R
* Nếu \ ( \ Delta \ ) = 0 thì f ( x ) cùng dấu với thông số a ( a .. f ( x ) > 0 ), \ ( \ forall \ ) x \ ( \ ne \ ) \ ( \ frac { { – b } } { { 2 a } } \ )
* Nếu \ ( \ Delta \ ) > 0 thì f ( x ) cùng dấu với thông số a khi x < x1 hoặc x > x2 ; f ( x ) trái dấu với thông số a khi x1 < x < x2. ( Với x1, x2 là hai nghiệm của f ( x ) và x1 < x2 )
Bảng xét dấu: f(x) = ax2 + bx + c, a\( \ne \)0, \(\Delta \)= b2– 4ac > 0
b. Dấu của nghiệm số
Cho f ( x ) = ax2 + bx + c, a \ ( \ ne \ ) 0
a ) ax2 + bx + c = 0 có nghiệm \ ( \ Leftrightarrow \ ) \ ( \ Delta \ ) = b2 – 4 ac \ ( \ ge \ ) 0
b ) ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm trái dấu \ ( \ Leftrightarrow \ ) a. c < 0
c ) ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm cùng dấu \ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } \ Delta > 0 \ \ a. c > 0 \ end { array } \ right. \ )
c ) ax2 + bx + c = 0 có những nghiệm dương \ ( \ Leftrightarrow \ ) \ ( \ left \ { \ begin { array } { l } \ Delta \ ge 0 \ \ P = { x_1 } { x_2 } = \ frac { c } { a } > 0 \ \ S = { x_1 } + { x_2 } = – \ frac { b } { a } > 0 \ end { array } \ right. \ )
d ) ax2 + bx + c = 0 có những nghiệm âm \ ( \ Leftrightarrow \ ) \ ( \ left \ { \ begin { array } { l } \ Delta \ ge 0 \ \ P = { x_1 } { x_2 } = \ frac { c } { a } > 0 \ \ S = { x_1 } + { x_2 } = – \ frac { b } { a } < 0 \ end { array } \ right. \ )
Chú ý: Dấu của tam thức bậc hai luôn luôn cùng dấu với hệ số a khi \(\Delta < 0\)
i ) ax2 + bx + c > 0, \ ( \ forall \ ) x \ ( \ Leftrightarrow \ ) \ ( \ left \ { \ begin { array } { l } a > 0 \ \ \ Delta < 0 \ end { array } \ right. \ )
ii ) ax2 + bx + c < 0, \ ( \ forall \ ) x \ ( \ Leftrightarrow \ ) \ ( \ left \ { \ begin { array } { l } a < 0 \ \ \ Delta < 0 \ end { array } \ right. \ )
iii ) ax2 + bx + c \ ( \ ge \ ) 0, \ ( \ forall \ ) x \ ( \ Leftrightarrow \ ) \ ( \ left \ { \ begin { array } { l } a > 0 \ \ \ Delta \ le 0 \ end { array } \ right. \ )
iv ) ax2 + bx + c \ ( \ le \ ) 0, \ ( \ forall \ ) x \ ( \ Leftrightarrow \ ) \ ( \ left \ { \ begin { array } { l } a < 0 \ \ \ Delta \ le 0 \ end { array } \ right. \ )
5. Bất phương trình bậc hai
a. Định nghĩa:
Bất phương trình bậc 2 là bpt có dạng f ( x ) > 0 ( Hoặc f ( x ) \ ( \ ge \ ) 0, f ( x ) < 0, f ( x ) \ ( \ le \ ) 0 ), trong đó f ( x ) là một tam thức bậc hai. ( f ( x ) = ax2 + bx + c, a \ ( \ ne \ ) 0 )
b. Cách giải:
Để giải bất pt bậc hai, ta vận dụng định lí vầ dấu tam thức bậc hai
Bước 1 : Đặt vế trái bằng f ( x ), rồi xét dấu f ( x )
Bước 2 : Dựa vào bảng xét dấu và chiều của bpt để Tóm lại nghiệm của bpt
Phần 2
GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
1. Các hệ thức lượng giác cơ bản
\(\begin{array}{l}1){\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\2)\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\left( {\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\\3)\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\left( {\alpha \ne k\pi } \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}4)1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}(\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi )\\5)1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}(\alpha \ne k\pi )\\6)\tan \alpha .\cot \alpha = 1(\alpha \ne \frac{{k\pi }}{2})\end{array}\)
2. Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt
\ ( \ begin { array } { l } \ sin \ alpha = \ sin \ left ( { \ alpha + k2 \ pi } \ right ) \ \ \ cos \ alpha = \ cos \ left ( { \ alpha + k2 \ pi } \ right ) \ end { array } \ )
\ ( \ begin { array } { l } \ tan \ alpha = \ tan \ left ( { \ alpha + k \ pi } \ right ) \ \ \ cot \ alpha = \ cot \ left ( { \ alpha + k \ pi } \ right ) \ end { array } \ )
+) Góc đối nhau (\(\alpha \) và \( – \alpha \))
\ ( \ cos ( – \ alpha ) \, \, = \, \, \ cos \ alpha \ )
\ ( \ sin ( – \ alpha ) \, \, = \, \, – \ sin \ alpha \ )
\ ( \ tan ( – \ alpha ) \, \, = \, \, – \ tan \ alpha \ )
\ ( \ cot ( – \ alpha ) \, \, = \, \, – \ cot \ alpha \ )
+) Góc bù nhau (\(\alpha \) và \(\pi – \alpha \))
\(\sin (\pi – \alpha )\,\, = \,\,\sin \alpha \)
\ ( \ cos ( \ pi – \ alpha ) \, \, = \, \, – \ cos \ alpha \ )
\ ( \ tan ( \ pi – \ alpha ) \, \, = \, \, – \ tan \ alpha \ )
\ ( \ cot ( \ pi – \ alpha ) \, \, = \, \, – \ cot \ alpha \ )
+) Góc phụ nhau(\(\alpha \) và \(\frac{\pi }{2} – \alpha \))
\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right)\,\, = \,\,\,\cos \alpha \)
\ ( \ cos \ left ( { \ frac { \ pi } { 2 } – \ alpha } \ right ) \, \, = \, \, \, \ sin \ alpha \ )
\ ( \ tan \ left ( { \ frac { \ pi } { 2 } – \ alpha } \ right ) \, \, = \, \, \, \ cot \ alpha \ )
\ ( \ cot \ left ( { \ frac { \ pi } { 2 } – \ alpha } \ right ) \, \, = \, \, \, \ tan \ alpha \ )
3. Công thức cộng
\ ( \ begin { array } { l } \ sin ( a + b ) = \ sin a. \ cos b + \ sin b. \ cos a \ \ \ sin ( a – b ) = \ sin a. \ cos b – \ sin b. \ cos a \ \ \ cos ( a + b ) = \ cos a. \ cos b – \ sin a. \ sin b \ \ \ cos ( a – b ) = \ cos a. \ cos b + \ sin a. \ sin b \ end { array } \ )
\ ( \ begin { array } { l } \ tan ( a + b ) = \ frac { { \ tan a + \ tan b } } { { 1 – \ tan a. \ tan b } } \ \ \ tan ( a – b ) = \ frac { { \ tan a – \ tan b } } { { 1 + \ tan a. \ tan b } } \ end { array } \ )
4. Công thức nhân đôi, hạ bậc
a) Công thức nhân đôi
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha \)
Xem thêm: Top 16 clip pewpew chửi mới nhất 2022
\ ( \ begin { array } { l } \ cos 2 \ alpha \ \ = { \ cos ^ 2 } \ alpha – { \ sin ^ 2 } \ alpha \, \ \ = 2 { \ cos ^ 2 } \ alpha – 1 \ \ = \, \, 1 – 2 { \ sin ^ 2 } \ alpha \ end { array } \ )
\(\tan 2\alpha \,\, = \,\,\frac{{2\tan \alpha }}{{1 – {{\tan }^2}\alpha }}\)
b) Công thức hạ bậc
\ ( \ begin { array } { c } { \ sin ^ 2 } \ alpha \, \, = \, \, \ frac { { 1 – \ cos 2 \ alpha } } { 2 } \ \ { \ cos ^ 2 } \ alpha \, = \, \, \ frac { { 1 + \ cos 2 \ alpha } } { 2 } \ \ { \ tan ^ 2 } \ alpha \, = \, \, \ frac { { 1 – \ cos 2 \ alpha } } { { 1 + \ cos 2 \ alpha } } \ end { array } \ )
5. Công thức biến đổi tích thành tổng
\ ( \ begin { array } { l } \ cos a \ cos b = \ frac { 1 } { 2 } \ left [ { \ cos ( a + b ) + \ cos ( a – b ) } \ right ] \ \ \ sin a \ sin b = – \ frac { 1 } { 2 } \ left [ { \ cos ( a + b ) – \ cos ( a – b ) } \ right ] \ \ \ sin a \ cos b = \ frac { 1 } { 2 } \ left [ { \ sin ( a + b ) + \ sin ( a – b ) } \ right ] \ end { array } \ )
6. Công thức biển đổi tổng thành tích
\ ( \ begin { array } { l } \ cos a + \ cos b = 2 \ cos \ frac { { a + b } } { 2 }. \ cos \ frac { { a – b } } { 2 } \ \ \ cos a – \ cos b = – 2 \ sin \ frac { { a + b } } { 2 }. \ sin \ frac { { a – b } } { 2 } \ \ \ sin a + \ sin b = 2 \ sin \ frac { { a + b } } { 2 }. \ cos \ frac { { a – b } } { 2 } \ \ \ sin a – \ sin b = 2 \ cos \ frac { { a + b } } { 2 }. \ sin \ frac { { a – b } } { 2 } \ end { array } \ )
\ ( \ begin { array } { l } \ tan a + \ tan b = \ frac { { \ sin ( a + b ) } } { { \ cos a. \ cos b } } \ \ \ tan a – \ tan b = \ frac { { \ sin ( a – b ) } } { { \ cos a. \ cos b } } \ \ \ cot a + \ cot b = \ frac { { \ sin ( a + b ) } } { { \ sin a. \ sin b } } \ \ \ cot a – \ cot b = \ frac { { \ sin ( b – a ) } } { { \ sin a. \ sin b } } \ end { array } \ )
Phần 3
HÌNH HỌC
1. Hệ thức lượng trong tam giác
a. Các hệ thức lượng trong tam giác
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, trung tuyến AM = \ ( { m_a } \ ), BN = \ ( { m_b } \ ), CP = \ ( { m_c } \ )
Định lý cosin
a2 = b2 + c2 – 2 bc. cosA ;
b2 = a2 + c2 – 2 ac. cosB ;
c2 = a2 + b2 – 2 ab. cosC
Hệ quả:
cosA = \ ( \ frac { { { b ^ 2 } + { c ^ 2 } – { a ^ 2 } } } { { 2 bc } } \ )
cosB = \ ( \ frac { { { a ^ 2 } + { c ^ 2 } – { b ^ 2 } } } { { 2 ac } } \ )
cosC = \ ( \ frac { { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } – { c ^ 2 } } } { { 2 ab } } \ )
Định lý sin
\ ( \ frac { a } { { \ sin A } } = \ frac { b } { { \ sin B } } = \ frac { c } { { \ sin C } } \ ) = 2R
( với R là nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )
b. Độ dài đường trung tuyến của tam giác
\ ( { m_a } ^ 2 = \ frac { { { b ^ 2 } + { c ^ 2 } } } { 2 } – \ frac { { { a ^ 2 } } } { 4 } = \ frac { { 2 ( { b ^ 2 } + { c ^ 2 } ) – { a ^ 2 } } } { 4 } \ ) ;
\ ( { m_b } ^ 2 = \ frac { { { a ^ 2 } + { c ^ 2 } } } { 2 } – \ frac { { { b ^ 2 } } } { 4 } = \ frac { { 2 ( { a ^ 2 } + { c ^ 2 } ) – { b ^ 2 } } } { 4 } \ )
\ ( { m_c } ^ 2 = \ frac { { { b ^ 2 } + { a ^ 2 } } } { 2 } – \ frac { { { c ^ 2 } } } { 4 } = \ frac { { 2 ( { b ^ 2 } + { a ^ 2 } ) – { c ^ 2 } } } { 4 } \ )
c. Các công thức tính diện tích tam giác
S = \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ ) aha = \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ ) bhb = \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ ) chc
S = \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ ) ab. sinC = \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ ) bc. sinA = \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ ) ac. sinB
S = \ ( \ frac { { abc } } { { 4R } } \ )
S = pr
S = \ ( \ sqrt { p ( p – a ) ( p – b ) ( p – c ) } \ ) với \ ( p = \ frac { 1 } { 2 } ( a + b + c ) \ )
2. Phương trình đường thẳng
* Để viết được phương trình đường thẳng dạng tham số cần phải biết được toạ độ 1 điểm và 1 vectơ chỉ phương
* Để viết được phương trình đường thẳng dạng tổng quát cần biết được toạ độ 1 điểm và 1 vectơ phát tuyến
a. Phương trình tham số của đường thẳng d
\ ( \ left \ { { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { x = { x_0 } + t { u_1 } } \ \ { y = { y_0 } + t { u_2 } } \ end { array } } \ right. \ ) với M ( \ ( { x_0 } ; { y_0 } \ ) ) \ ( \ in d \ ) và \ ( \ vec u = ( { u_1 } ; { u_2 } ) \ ) là vectơ chỉ phương ( VTCP )
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng d
a ( x – \ ( { x_0 } \ ) ) + b ( y – \ ( { y_0 } \ ) ) = 0 hay ax + by + c = 0
( với c = – a \ ( { x_0 } \ ) – b \ ( { y_0 } \ ) và a2 + b2 \ ( \ ne \ ) 0 ) trong đó M ( \ ( { x_0 } ; { y_0 } \ ) ) \ ( \ in d \ ) và \ ( \ vec n = ( a ; b ) \ ) là vectơ pháp tuyến ( VTPT )
+) Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A(a; 0) và B(0; b) với \(ab\ne 0\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)
+) Phương trình đường thẳng đi qua điểm M (\({x_0};{y_0}\)) có hệ số góc k có dạng: y – \({y_0}\)= k (x – \({x_0}\))
c. Khoảng cách từ mội điểm M (\({x_0};{y_0}\)) đến đường thẳng d: ax + by + c = 0 được tính theo công thức:
d ( M ; d ) = \ ( \ frac { { \ left | { a { x_0 } + b { x_0 } + c } \ right | } } { { \ sqrt { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } } } } \ )
d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
\({\Delta _1}\): \({a_1}x + {b_1}y + {c_1}\)= 0
\({\Delta _2}\): \({a_2}x + {b_2}y + {c_2}\)= 0
\({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\)\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}\);
Tọa độ giao điểm của \ ( { \ Delta _1 } \ ) và \ ( { \ Delta _2 } \ ) là nghiệm của hệ \ ( \ left \ { \ begin { array } { l } { a_1 } x + { b_1 } y + { c_1 } { \ rm { = 0 } } \ \ { a_2 } x + { b_2 } y + { c_2 } { \ rm { = 0 } } \ end { array } \ right. \ )
\({\Delta _1}\)//\({\Delta _2}\)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\)
\ ( { \ Delta _1 } \ ) \ ( \ equiv \ ) \ ( { \ Delta _2 } \ ) \ ( \ Leftrightarrow \ ) \ ( \ frac { { { a_1 } } } { { { a_2 } } } = \ frac { { { b_1 } } } { { { b_2 } } } = \ frac { { { c_1 } } } { { { c_2 } } } \ ) ( với \ ( { a_2 } \ ), \ ( { b_2 } \ ), \ ( { c_2 } \ ) khác 0 )
3. Đường tròn
a. Phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R có dạng:
( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = R2 ( 1 )
hay x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0 ( 2 )
với c = a2 + b2 – R2
+ ) Với điều kiện kèm theo a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm I ( a ; b ) nửa đường kính R
+ ) Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
d cắt ( C ) \ ( \ Leftrightarrow \ ) d ( I ; d ) < R
d không có điểm chung với ( C ) \ ( \ Leftrightarrow \ ) d ( I ; d ) > R
d tiếp xúc với ( C ) \ ( \ Leftrightarrow \ ) d ( I ; d ) = R
b. Phương trình tiếp tuyến với đường tròn
Dạng 1 : Điểm A thuộc đường tròn
Dạng 2 : Điểm A không thuộc đường tròn
Dạng 3 : Biết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc hay song song với 1 đường thẳng nào đó
4. Phương trình Elip
a. Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) và một số a (a > c > 0, a = const).
Elip ( E ) là tập hợp những điểm M : F1M + F2M = 2 a. Hay ( E ) = \ ( \ { M / { F_1 } M + { F_2 } M = 2 a \ } \ )
b. Phương trình chính tắc của elip (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a2 = b2 + c2)
c. Các thành phần của elip (E) là:
Hai tiêu điểm : F1 ( – c ; 0 ), F2 ( c ; 0 )
Bốn đỉnh : A1 ( – a ; 0 ), A2 ( a ; 0 ), B1 ( 0 ; – b ), B2 ( 0 ; b )
Độ dài trục lớn : A1A2 = 2 a
Độ dài trục nhỏ : B1B2 = 2 b
Tiêu cự F1F2 = 2 c
d. Hình dạng của elip (E)
+ ) ( E ) có 2 trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc tọa độ
+) Mọi điểm của (E) ngoại trừ 4 đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x = \( \pm \)a, y = \( \pm \)b
Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip .
Loigiaihay.com
Source: https://taimienphi.club
Category: Chưa phân loại