Bộ công thức Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp đầy đủ nhất trong Toán học

Bộ công thức Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp đầy đủ nhất trong Toán học

Bộ công thức Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp đầy đủ nhất trong Toán học

Hoán vị – Tổ hợp – Chỉnh hợp là một chuyên đề tưởng khá thú vị, hơn nữa nó cần sự tinh tế nhất định trong cách xử lý bài toán. Các phần công thức và bài toán có lời giải dưới đây chúng tôi xin được gửi tặng các bạn đang yếu phần này và có nhu cầu học bổ trợ để nâng cao kiến thức chuyên đề Tổ hợp xác suất. Các bài tập trong tài liệu được phân dạng rất rõ ràng nên các em dễ dàng tiếp cận và học nhanh. Hi vọng mọi người đều giỏi lên sau khi đọc xong chuyên đề này nhé!

I. Định nghĩa

1. Hoán vị là gì?

Trong toán học, đặc biệt quan trọng là trong đại số trừu tượng và những nghành nghề dịch vụ có tương quan, một hoán vị là một tuy nhiên ánh từ một tập hợp hữu hạn X vào chính nó. Trong triết lý tổ hợp, khái niệm hoán vị cũng mang một ý nghĩa truyền thống lịch sử mà nay ít còn được dùng, đó là miêu tả một bộ có thứ tự không lặp Khái niệm hoán vị miêu tả ý tưởng sáng tạo rằng những đối tượng người tiêu dùng phân biệt hoàn toàn có thể được sắp xếp theo những thứ tự khác nhau và được định nghĩa như sau : Cho tập hợp A gồm n thành phần ( n ≥ 1 ). Mỗi hiệu quả của sự sắp xếp thứ tự n thành phần của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n thành phần đó.

Ví dụ: Với tập hợp gồm các số từ một đến sáu, mỗi cách sắp thứ tự sẽ tạo thành một dãy các số không lặp lại. Một số các hoán vị như thế là: “1, 2, 3, 4, 5, 6”, “3, 4, 6, 1, 2, 5”, “2, 1, 4, 6, 5, 3”, v..v.

Một số hoán vị đặc biệt quan trọng :

  • Hoán vị vòng
  • Hoán vị chẵn và lẻ
  • Hoán vị Josephus
  • Nhóm đối xứng
  • Nhóm hoán vị

2. Chỉnh hợp là gì?

Trong toán học, chỉnh hợp là cách chọn những thành phần từ một nhóm lớn hơn và có phân biệt thứ tự, trái với tổ hợp là không phân biệt thứ tự. Theo định nghĩa, chỉnh hợp chập k của n thành phần là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n thành phần, tập con gồm k thành phần riêng không liên quan gì đến nhau thuộc S và có sắp thứ tự. Số chỉnh hợp chập K của một tập S được tính theo công thức sau : \ ( { \ displaystyle A ( n, k ) = A_ { n } ^ { k } = { \ dfrac { n ! } { ( n-k ) ! } } } \ ) Ví dụ với tập hợp E = { a, b, c, d }. Chỉnh hợp chập 3 của 4 thành phần trong E là : \ ( { \ displaystyle A_ { 4 } ^ { 3 } = 24. } \ )

3. Tổ hợp là gì?

Tổ hợp là cách chọn những thành phần từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Trong những trường hợp nhỏ hơn hoàn toàn có thể đếm được số tổ hợp. Ví dụ cho ba loại quả, một quả táo, một quả cam và một quả lê, có ba cách tích hợp hai loại quả từ tập hợp này : một quả táo và một quả lê ; một quả táo và một quả cam ; một quả lê và một quả cam.

Mới nhất: Dạng bài hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp – nắm vững lý thuyết về tổ hợp

4. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp, hoán vị

Nội dung Tổ hợp Chỉnh hợp Hoán vị
Công thức \ ( C ^ k_n = { \ displaystyle { \ dfrac { n ! } { k ! ( n-k ) ! } } } \ ) \ ( A_ { n } ^ { k } = { \ dfrac { n ! } { ( n-k ) ! } } = k ! C ^ k_n \ ) \ ( P_n = n ! = ( n-k ) ! A ^ k_n \ )
Tính chất Đổi chỗ phần tử không ảnh hưởng đến kết quả Đổi chỗ phần tử ảnh hưởng đến kết quả Đổi chỗ phần tử ảnh hưởng đến kết quả
Bài tập phân biệt Có bao nhiêu tập hợp gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ 4 chữ số 1, 2, 3, 4. Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ 4 chữ số 1, 2, 3, 4. Có bao nhiêu tập hợp gồm 4 chữ số khác nhua được lập từ 4 chữ số 1, 2, 3, 4.

II. Công thức chỉnh hợp

1. Chỉnh hợp không lặp:

Cho tập A gồm n thành phần. Mỗi cách sắp xếp k thành phần của A ( \ ( 1 \ le k \ le n \ ) ) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n thành phần của tập A. Số chỉnh hợp chập k của n thành phần : \ ( A ^ k_n = n. ( n-1 ) ( n-2 ) … ( n-k+1 ) = \ dfrac { n ! } { ( n-k ) ! } \ ) Khi k = n thì \ ( A ^ n_n = p_n = n ! \ )

2. Chỉnh hợp lặp

Cho tập A gồm n thành phần. Mỗi dãy gồm k thành phần của A, trong đó mỗi thành phần hoàn toàn có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp chập k của n thành phần tập A. Số chỉnh hợp lặp chập k của n thành phần : \ ( A ^ k_n = n ^ k \ )

III. Công thức tổ hợp

1. Tổ hợp không lặp

Cho tập A gồm n thành phần. Mỗi tập con gồm k ( \ ( 1 \ le k \ le n \ ) ) thành phần của A được gọi là một tổ hợp chập k của n thành phần của tập A. Tổ hợp chập k của n thành phần là số những nhóm gồm k thành phần được lấy ra từ n thành phần mà giữa chúng chỉ khác nhau về thành phần cấu trúc chứ không quan trọng về thứ tự sắp xếp những thành phần. Các nhóm được coi là giống nhau nếu chúng có chung thành phần cấu trúc. VD : { 1 ; 2 ; 3 } và { 2 ; 1 ; 3 } là giống nhau.

Công thức tính tổ hợp chập k của n:

\ ( { \ displaystyle { \ binom { n } { k } } = { \ dfrac { n ( n-1 ) \ ldots ( n-k+1 ) } { k ( k-1 ) \ dots 1 } } } \ ) Công thức trên hoàn toàn có thể viết dưới dạng giai thừa \ ( { \ displaystyle { \ dfrac { n ! } { k ! ( n-k ) ! } } } \ ), trong đó \ ( { \ displaystyle k \ leq n } \ ), và hiệu quả là 0 khi \ ( { \ displaystyle k > n } \ ). Tập hợp toàn bộ những tổ chập k của tập S thường được ký hiệu là \ ( { \ displaystyle { \ binom { S } { k } } \, } \ )

Cách tính tổ hợp

\ ( C ^ k_n = { \ displaystyle { \ dfrac { n ! } { k ! ( n-k ) ! } } } \ ) Tính chất :

  • \ ( C ^ 0 _n = C ^ n_n = 1 \ )

  • \(C^k_n= C^{n-k}_n\)

  • \ ( C ^ k_n = C ^ { k-1 } _ { n-1 } + C ^ k_ { n-1 } \ )
  • \ ( C ^ k_n = \ dfrac { n-k+1 } { k } C ^ { k-1 } _n \ )

2. Tổ hợp lặp:

Cho tập \ ( A = { a_1, a_2, …, a_n } \ ) và số tự nhiên k bất kể. Một tổ hợp lặp chập k của n thành phần là một tổ hợp gồm k thành phần, trong đó mỗi thành phần là một trong n thành phần của A. Số tổ hợp lặp chập k của n thành phần : \ ( C ^ k_n = C ^ k_ { n + k-1 } = C ^ { m-1 } _ { n + k-1 } \ )

Quan tâm: Dạng bài hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp – lý thuyết quy tắc nhân

III. Bài tập về quy tắc đếm có đáp án

Bài 1: Đề thi cuối khó môn toán khối 12 ở một trường trung học gồm hai loại đề tự luận và trắc nghiệm. Một học sinh dự thi phải thực hiện hai đề thi gồm 1 tự luận và một trắc nghiệm, trong đó tự luận có 12 đề, trắc nghiệm có 15 đề.Hỏi mỗi học sinh có bao nhiêu cách chọn đề thi?

Lời giải: Ta có:

Số cách chọ 1 đề tự luận là 12 cách. Số cách chọn 1 đề trắc nghiệm là 15 cách
Vì một học sinh phải làm đồng thời 2 loại đề nên có tất cả 12.15 = 180 cách chọn đề thi.

Xem ngay:

Bài 2: Cho tập hợp A = {1,2,3,5,7,9}
a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.
b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau.

Lời giải:

a. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là : \ ( n = \ overline { a_1a_2a_3a_4 } \ ). Để có số n ta phải chọn đồng thời \ ( a_1 \ ), \ ( a_2 \ ), \ ( a_3 \ ), \ ( a_4 \ ) trong đó :

  • \ ( a_1 \ ) có 6 cách chọn
  • \ ( a_2 \ ) có 5 cách chọn
  • \ ( a_3 \ ) có 4 cách chọn
  • \ ( a_4 \ ) có 3 cách chọn

Vậy có 6.5.4. 3 = 360 số n cần tìm. b. Gọi số tự chẵn có 5 chữ số cần tìm là \ ( n = \ overline { a_1a_2a_3a_4a_5 } \ ) trong đó :

  • \ ( a_5 \ ) chỉ có 1 cách chọn (bằng 2)
  • \ ( a_1 \ ) có 5 cách chọn
  • \ ( a_2 \ ) có 4 cách chọn
  • \ ( a_3 \ ) có 3 cách chọn
  • \ ( a_4 \ ) có 2 cách chọn

Vậy số n cần tìm là : 1.2.3. 4.5 = 120 số.

Bài 3: Cho tập A= {0,1,2,3,4,5,6}
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 và 5 không đứng cạnh nhau
Lời giải:

1. Tìm Số có 5 chữ số khác nhau đôi một tùy ý là \(n = \overline{a_1a_2a_3a_4a_5}\)

  • \ ( a_1 \ ) có 6 cách chọn(vì a1 ≠ 0)
  • \ ( a_2 \ ) có 6 cách chọn
  • \ ( a_3 \ ) có 5 cách chọn
  • \ ( a_4 \ ) có 4 cách chọn
  • \ ( a_5 \ ) có 3 cách chọn

Vậycó 6.6.5.4.3 = 2160 số
2. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một và 2, 5 đứng cạnh nhau.
Giả sử 2,5 là một chữ số a nào đó do vậy ta đi tìm số có 4 chữ số

Trường hợp 1: \(a_1\)= a

  • \ ( a_2 \ ) có 5 cách chọn
  • \ ( a_3 \ ) có 4 cách
  • \ ( a_4 \ ) có 3 cách

Vậy có 5.4.3 = 60 số
Trường hợp 2: \(a_1\) ≠ a nên 

  • \ ( a_1 \ ) có 4 cách chọn ( a1 ≠ 0,2,5)
  • có 3 vị trí cho số a giả sử \ ( a_2 \ ) = a
  • \ ( a_3 \ ) có 4 cách
  • \ ( a_4 \ ) có 3 cách

Vậy có 4.3.4.3 = 204 mà 2,5 có thể đổi chỗ cho nhau nên ta đc 204.2 = 408 số.
Vậy YCBT = 2160 – 408 = 1572 cách.

Trên đây là toàn bộ những thông tin cần thiết chúng tôi đã tổng hợp được về topic công thức Hoán vị – Tổ hợp – Chỉnh hợp. Nếu có thắc mắc hay tài liệu tham khảo thú vị vui lòng để lại dưới mục bình luận cũng như chia sẻ thêm cho các bạn đọc cùng biết. Chúng tôi tin chắc rằng, những nguồn thông tin hữu ích này sẽ giúp ích bạn trong việc học tập rất nhiều cũng như đem lại điểm số cao. Chúc các bạn may mắn!

Leave a comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *