Bài viết dưới đây giúp các bạn trả lời các câu hỏi: Hoán vị là gì? Chỉnh hợp là gì? Tổ hợp là gì?. Bên cạnh đó là các công thức, các dạng toán và phương pháp giải chi tiết.
I. HOÁN VỊ LÀ GÌ?
Để cho dễ hình dung, ta có thể tạm hiểu: Hoán trong từ hoán đổi, vị trong từ vị trí. Có nghĩa là nếu chúng ta có 1 tập hợp n phần tử (n>0). Thì mỗi cách sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự thì ta được 1 hoán vị của n phần tử đó.
Chẳng hạn như xếp ba bạn HOÀNG, bạn XUÂN và bạn ĐỊNH vào một bàn học ngang. Ta có một hoán vị HOÀNG–XUÂN–ĐỊNH. Và hoán vị ĐỊNH–HOÀNG–XUÂN là hoán vị khác với hoán vị HOÀNG–XUÂN–ĐỊNH.
Ở trên ta đã có định nghĩa của một hoán vị. Vậy câu hỏi tự nhiên đặt ra là có bao nhiêu hoán vị? Chúng ta có thể dễ dàng trả lời câu hỏi đó bằng cách áp dụng quy tắc nhân.
Số hoán vị: Cho tập hợp gồm n phần tử (n>0). Hỏi có bao nhiêu hoán vị của n phần tử đó?
Giả sử ta có n vị trí đánh số từ 1 tới n. Để được 1 hoán vị của n thành phần đã cho, ta xếp từng thành phần lần lượt vào những vị trí từ 1 đến n. Xếp vào vị trí thứ 1 có n cách. Xếp vào vị trí thứ 2 có n-1 cách ( vì 1 thành phần đã xếp vào vị trí thứ 1 rồi ). Cứ như vậy đến hết. Vậy số hoán vị của n thành phần đã cho là
Tôi muốn nhấn mạnh vấn đề với những bạn sự khác nhau giữa hoán vị và số hoán vị. Đó là điều mà những bạn thường không chú ý và bỏ lỡ .
II. HOÁN VỊ LẶP LÀ GÌ?
Xét ví dụ sau: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện đúng một lần, chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần, chữ số 3 xuất hiện đúng 2 lần, chữ số 4 xuất hiện đúng 3 lần?
Khi đó số 122233444 thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán. Nếu ở số trên mà ta hoán vị 2 chữ số 3 ví dụ điển hình thì số không đổi. Do đó vẫn là 1 số thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán mà thôi. Dạng bài toán tương tự như như ví dụ trên gọi là hoán vị lặp .
Vậy đếm số hoán vị lặp như thế nào?
Giả sử một tập hợp có k thành phần được đánh số từ 1 đến k. Một cách sắp xếp k thành phần đó sao cho thành phần thứ i ( 1 ≤ i ≤ k ) Open n ( i ) lần và n ( 1 ) + n ( 2 ) + … + n ( k ) = n được gọi là một hoán vị lặp của k thành phần. Số hoán vị lặp là
Quay lại ví dụ trên ta thấy số những số tự nhiên thỏa mãn nhu cầu là
III. TỔ HỢP LÀ GÌ?
Ta có thể hiểu mỗi một tập con gồm k phần tử của tập hợp gồm n phần tử (n>0) là một tổ hợp chập k của n.
Ví dụ ta có tập hợp 7 viên ngọc rồng đánh số từ 1 đến 7. Một tổ hợp chập 3 của 7 được minh họa như hình .
Số tổ hợp chập k của n: Để đếm số tổ hợp chập k của n ta giả sử có k vị trí đánh số từ 1 đến k. Lấy một phần tử xếp vào vị trí thứ nhất có n cách. Lấy tiếp 1 phần tử xếp vào vị trí số 2 có n-1 cách…cứ như vậy đến phần tử thứ k có n-k+1 cách. Khi đếm như vậy thì k phần tử đó có thể hoán đổi (hoán vị) với nhau mà không sinh ra tổ hợp khác. Vậy số tổ hợp chập k của n là
IV. CHỈNH HỢP LÀ GÌ?
Ta có thể hiểu một cách sắp xếp các phần tử của một tập con gồm k phần tử của tập hợp gồm n phần tử là một chỉnh hợp chập k của n.
Để dễ dàng phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp ta quay lại ví dụ 7 viên ngọc rồng ở phần trên. Ở đây lấy ra 3 viên ngọc và sắp theo thứ tự từ trái qua phải. Một chỉnh hợp chập 3 của 7 được minh họa như hình.
Như vậy ta có thể phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp rằng chỉnh hợp chập k thì có kể đến thứ tự của k phần tử, còn tổ hợp thì không kể đến thứ tự.
Số chỉnh hợp chập k của n: Để đếm số tổ hợp chập k của n ta giả sử có k vị trí đánh số từ 1 đến k. Lấy lần lượt các phần tử xếp vào các vị trí. Mỗi vị trí 1 phần tử ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Lấy một phần tử xếp vào vị trí thứ nhất có n cách. Lấy tiếp 1 phần tử xếp vào vị trí số 2 có n-1 cách…cứ như vậy đến phần tử thứ k có n-k+1 cách. Vậy số chỉnh hợp chập k của n là
V. LIÊN HỆ GIỮA HOÁN VỊ CHỈNH HỢP TỔ HỢP
Theo những định nghĩa bên trên ta hoàn toàn có thể thấy tổ hợp chỉnh hợp hoán vị có mối liên hệ với nhau. Cụ thể một chỉnh hợp chập k của n được tạo thành bằng cách thực thi 2 bước. Bước 1 là lấy 1 tổ hợp chập k của n thành phần. Bước 2 là hoán vị k thành phần đó. Vì vậy ta có công thức liên hệ giữa chỉnh hợp tổ hợp hoán vị như sau :
Trên đây là 1 số ít định nghĩa trong chương chỉnh hợp tổ hợp xác xuất mà toanthaydinh.com ra mắt đến những bạn. Thời gian tới tôi sẽ liên tục update những dạng toán tổ hợp chỉnh hợp ở đây. Tổ hợp chỉnh hợp Xác Suất là nội dung thường Open ở kỳ thi THPT QG ở mức độ phân biệt thông hiểu. Vì vậy những bạn hãy nắm chắc những khái niệm trong nội dung Phần Trăm tổ hợp chỉnh hợp để giải toán nhé !. Chúc những bạn học giỏi và thành công xuất sắc !
Xem thêm:
Nhị thức Newton: Công thức và một số bài toán
Chỉnh hợp lặp và chỉnh hợp không lặp
Bài tập hoán vị chỉnh hợp tổ hợp có lời giải (Key)
Tổ hợp xác suất –
Source: https://taimienphi.club
Category: Chưa phân loại