1. Lý thuyết nguyên hàm từng phần
1.1. Khái niệm nguyên hàm từng phần
Nguyên hàm từng phần chính là chiêu thức giải những dạng bài toán 12 nguyên hàm. Khi cho hai hàm số u = u ( x ), v = v ( x ) có đạo hàm liên tục trên K, tất cả chúng ta có công thức nguyên hàm từng phần là ∫ udv = uv − ∫ vdu .
Chú ý : Ta sử dụng giải pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng I = ∫ f ( x ). g ( x ) dx, trong đó f ( x ) và g ( x ) là 2 trong 4 hàm số : Hàm số logarit, hàm số lượng giác, hàm số đa thức, …
1.2. Ví dụ về nguyên hàm từng phần
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số sau:
. Ta có:
Ví dụ 2: Hãy tìm nguyên hàm của hàm số ?
Giải :
Ví dụ 3 : Nguyên hàm của hàm số y = x.lnx là gì ?
Giải :
2. Tổng hợp những công thức tính nguyên hàm từng phần
Cho 2 hàm số u = u ( x ) và v = v ( x ) có đạo hàm trên tập K. Khi đó ta có công thức tính nguyên hàm từng phần như sau :
Để tính nguyên hàm ∫ f ( x ). g ( x ) dx, tất cả chúng ta làm theo công thức sau :
Bước 1 : Ta đặt :
Theo đó thì G ( x ) là một nguyên hàm bất kể của hàm số g ( x ) .
– Bước 2. Lúc này theo công thức nguyên hàm từng phần ta có :
∫ f ( x ). g ( x ) dx = f ( x ). G ( x ) − ∫ G ( x ). f ′ ( x ) dx .
>> Xem thêm : Bảng công thức tính nguyên hàm khá đầy đủ nhất
3. Phương pháp giải nguyên hàm từng phần
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số logarit
Hãy tính nguyên hàm của hàm số logarit sau :
với f ( x ) là một hàm của đa thức
Phương pháp giải :
- Bước 1 : Ta thực thi
- Bước 2 : Ta suy ra
Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số mũ
Tính nguyên hàm của hàm số mũ sau :
với f(x) là một hàm đa thức
Phương pháp :
- Bước 1 : Ta triển khai đặt
- Bước 2 : Dựa vào bước đặt ở bước 1, ta có : ∫ f ( x ) e ax + b dx = uv – ∫ vdu
Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức
Hãy tính nguyên hàm của hàm số lượng giác :
hoặc
Lời giải
– Bước 1 : Ta thực thi đặt như sau :
– Bước 2 : Ta biến hóa thành
Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ
Hãy tính nguyên hàm tích hợp giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ :
hoặc
Các bước giải như sau :
– Bước 1 : Ta triển khai đặt như sau
– Bước 2 : Khi đó, nguyên hàm sẽ tính theo công thức tổng quát uv – ∫ vdu
Lưu ý : Đây là dạng toán phức tạp nên cần lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. Ngoài ra, ở bước 1 ta hoàn toàn có thể đặt khác chút bằng cách đặt :
4. Cách giải dạng bài tập nguyên hàm từng phần có đáp án
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số logarit
Ví dụ : Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x.lnx
Lời giải :
Dựa vào giải pháp giải ở trên bạn dễ thấy
Bước 1 : Ta thực thi đặt biểu thức dạng
Bước 2 : Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có :
Ví dụ : Hãy tính nguyên hàm của biểu thức sau I = ∫ xexdx
Lời giải
Dựa theo chiêu thức trên, ta triển khai đặt
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có :
>> Xem thêm: Công thức nguyên hàm lnx và cách giải các dạng bài tập
Dạng 2: Hàm số lượng giác và hàm đa thức
Hãy tính nguyên hàm của hàm số lượng giác :
hoặc
Lời giải
– Bước 1 : Ta triển khai đặt như sau :
– Bước 2 : Dựa vào việc đặt ở bước 1, ta biến hóa thành :
Để hiểu hơn, ta cùng xem ví dụ sau đây :
Ví dụ : Hãy tính nguyên hàm của hàm lượng giác sau A = ∫ xsinxdx
Lời giải :
Đây là một nguyên hàm phối hợp giữa nguyên hàm lượng giác, bạn hãy làm như sau :
Dựa theo chiêu thức trên, ta đặt như sau :
Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có :
>> Xem thêm: Cách tính nguyên hàm của tanx bằng công thức cực hay
Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm số mũ
Ví dụ : Hãy tính nguyên hàm của hai hàm là hàm lượng giác và hàm e mũ sau đây I = ∫ sinx.exdx
Lời giải
Đây là một nguyên hàm phối hợp giữa nguyên hàm lượng giác, nguyên hàm của e mũ u. Bạn hãy làm như sau :
Ta thực thi đặt như sau
Khi đó, nguyên hàm trở thành :
Lúc này ta tính : J = ∫ cosx.ex.dx
Để tính được J, bạn cần lấy nguyên hàm từng phần lần 2. Cụ thể là
Đặt như sau :
Khi đó:
Như vậy, trong bài viết này VUIHOC đã giúp những em khái quát lại khái niệm cũng như những công thức nguyên hàm từng phần cùng những bài tập nhằm mục đích giúp những em vận dụng hiệu suất cao. Ngoài ra, để hoàn toàn có thể rèn luyện thêm nhiều bài tập cho thật thuần thục những em, hãy truy vấn ngay tại Vuihoc. vn và ĐK khóa học dành cho học viên lớp 12 nhé !
>> Xem thêm: Phương pháp tính tích phân từng phần và ví dụ minh họa
Source: https://taimienphi.club
Category: Chưa phân loại