Số phức – Tổng hợp kiến thức cơ bản và các công thức số phức

Bạn đang đọc: Số phức – Tổng hợp kiến thức cơ bản và các công thức số phức

5/5 – ( 1 bầu chọn )

Số phức là chuyên đề được các thầy cô đánh giá là rất quan trọng trong quá trình ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán vì đây là chuyên đề có khá nhiều câu trong đề (6 câu) và trải đều trên cả 4 mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao.

Các bạn có thể tham khảo thêm bài viết: Cấu trúc đề thi môn Toán Tốt nghiệp THPT 2022

Chính vì thế, trong bài viết này mình sẽ san sẻ không thiếu và cụ thể nhất các kiến thức và kỹ năng về số phức cũng như các dạng bài về số phức thường gặp giúp các bạn hoàn toàn có thể có cái nhìn cô đọng nhất về chuyên đề này !

A. Số phức là gì?

1.Khái niệm số phức

Số phức ( trong tiếng Anh Complex Number ), nếu dịch ra Complex là phức tạp hay phức tạp. Như vậy, ta hoàn toàn có thể hiểu sô ’ phức là phức tạp bởi nhiều thành phần tạo ra .
Cụ thể tập sô ’ phức là tập số có dạng :

z = a + bi

Trong đó, a và b là các số thuộc tập số thực và i là đơn vị chức năng số ảo thỏa mãi điều kiện kèm theo : i² = – 1 .

2. Cấu tạo của số phức

Với mỗi số phức có dạng z = a + bi ( điều kiện kèm theo a, b ∈ R ) sẽ gồm có cá thành phần như sau :

a được gọi là phần thực của z. Trong một số sách tham khảo trong nước và nước ngoài, một số sách ký hiệu thành phần này là Rez. Trong trường hợp a=0 ta gọi đây là số thuần ảo.
b (chứ không phải bi nhé) là phần ảo của số thực z. Và thường được ký hiệu là Imz. trong trường hợp b=0 thì số phức z là số thực.

Các câu hỏi trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán, các câu số phức ở dạng nhận ra trong 1 số ít năm đôi lúc chỉ là hỏi về phần thực phần ảo là gì hoặc một số ít kiến thức và kỹ năng rất cơ bản khác .
Ví dụ như trong đề thi 2017 mã đề 131

B. Modun của số phức

1.Khái niệm modun số phức

Modun của số phức dạng z = a + bi ( a, b ∈ R ) là căn bậc hai số học ( hoặc căn bậc 2 không âm ) của a² + b². Ta cũng ký hiệu modun của z = a + bi là :

|z| hoặc |a+bi|

Ví dụ: số phức z =3+4i có modun là 5 vì modun của số phức này là căn bậc 2 của 3²+4²=25.

Như đã nói ở trên, các bạn cần quan tâm số thực cũng là 1 số ít phức ( trong trường hợp phần ảo bằng 0 ). Ta hoàn toàn có thể thuận tiện nhận thấy rằng trị tuyệt đối của số thực cũng là modun của số thực đó. Chính cho nên vì thế ta cũng hoàn toàn có thể gọi mô đun của số phức là giá trị tuyệt đối cúa số phức đó .

2.Biểu diễn modun số phức qua hình học

Với mỗi số phức có dạng z = a + bi ( điều kiện kèm theo a, b ∈ R ) được đặt tương ứng với điểm M ( z ) = ( a ; b ) trên trục tọa độ Oxy ( tương ứng này được gọi là tuy nhiên ánh ). Do đó, có rất nhiều bài toán về hình học và các bài toán về sô ’ phức hoàn toàn có thể chuyển hóa qua lại cho nhau, tạo ra sự phong phú về cách dải cho các bạn học viên
Biểu diễn modun số phức qua hình học :

3.Tính chất modun số phức

Một số tính chất của modun số phức mà chúng ta có thể dễ dàng chứng minh như sau:

Hai số phức có dấu đối nhau có modun bằng nhau: |z|=|-z|
Hai số phức có tính liên hợp cũng có mô đun bằng nhau. |a+bi|=|a-bi|
Modun của số phức z bằng 0 khi và chỉ khi z=0.
Tích của hai số phức liên hợp chính bằng bình phương modun của chúng

Modun của tích 2 số phức bằng tích 2 modun của các số phức đó

Modun của thương 2 số phức bằng phương 2 modun của các số phức đó

4.Bất đẳng thức modun

Về thực chất, khi màn biểu diễn trên trục tọa độ Oxy, modun của số phức chính là độ dài đoạn thẳng được biểu lộ trên mặt phẳng. Do đó, khi liên hệ với bất đẳng thức của tam giác, ta hoàn toàn có thể suy ra được các bất đẳng thức modun số phức như sau :

Bất đẳng thức 1:

Xem thêm: EDM thái lan 2022 | tik tok remix nghe là nghiện || nhạc thái lan | tik tok edm

Dấu “ bằng ” xảy ra trong trường hợp :

Biểu diễn trên đồ thị :

Bất đẳng thức 2:

Dấu “ bằng ” xảy ra khi vào chỉ khi :

Biểu thị trên đồ thị :

Bất đẳng thức 3:

C. Số phức liên hợp

Với mỗi số phức z = a + bi ( với điều kiện kèm theo a, b ∈ R ) thì số phức phối hợp của z là

z’ = a-bi

D. Biểu diễn số phức trên hình học

Với mỗi số phức có dạng z = a+bi (điều kiện a, b∈R) được đặt tương ứng với điểm M(z)=(a;b) trên trục tọa độ Oxy (tương ứng này được gọi là song ánh). Khi biểu diễn số phức, số phức liên hợp và modun số phức trên cùng một trục tọa độ Oxy ta có hình sau:

Hình chiếu của M ( z ) lên trục Ox chính là thành phần thực của số phức z. Do đó, trục Ox lúc này ta hoàn toàn có thể gọi là trục thực. Các số thực đều được trình diễn trên trục Ox. Hình chiếu của M ( z ) lên trục Oy là thành phần ảo của z. Do đó trục Oy ta hoàn toàn có thể gọi là trục ảo. Các số thuần ảo đều hoàn toàn có thể được trình diễn trên trục Oy. Số phức z và số phức phối hợp của z khi trình diễn trên trục tọa độ Oxy trở thành 2 đường thẳng đối xứng nhau qua trục thực ( Ox ). Còn modun của z ta hoàn toàn có thể thấy là khoảng cách từ điểm M ( z ) và gốc tọa độ .

Agrument của số phức

Giả sử có điểm M ( z ) là điểm màn biểu diễn của z. Agrument của số phức z là góc được tạo thành từ OM ( z ) và trục Oy .

E. Tổng hợp công thức số phức

Các công thức cần nhớ về số phức mình đã liệt kê ở trên, những để tiện cho việc tổng hợp và ghi nhớ kiến thức, mình sẽ tổng hợp lại toàn bộ các công thức chính số phức cần nhớ: