Tổng hợp đầy đủ bộ công thức luỹ thừa cần nhớ

Tác giả Minh Châu

3,158

Khi ôn tập, bảng công thức luỹ thừa là công cụ không hề thiếu so với các em học viên THPT. Trong bài viết này, VUIHOC sẽ giúp các em tổng hợp tổng thể những công thức luỹ thừa lớp 12 cơ bản, sử dụng nhiều trong các bài tập tương quan đến luỹ thừa và hàm số luỹ thừa

Trước khi đi vào chi tiết bộ công thức luỹ thừa, các em hãy cùng VUIHOC đánh giá về luỹ thừa và các bài tập áp dụng công thức luỹ thừa lớp 12 trong đề thi đại học tại bảng dưới đây:

Để thuận tiện hơn trong ôn tập hằng ngày, các em tải file tổng hợp lý thuyết về luỹ thừa gồm có hàng loạt các công thức luỹ thừa 12 tại link sau đây :
Tải xuống file tổng hợp lý thuyết về công thức luỹ thừa

1. Lý thuyết về luỹ thừa – nền tảng của công thức luỹ thừa lớp 12

1.1. Định nghĩa

Công thức luỹ thừa 12 được hình thành từ định nghĩa của luỹ thừa. Các em hoàn toàn có thể hiểu đơn thuần rằng, lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực thi trên hai số a và b, hiệu quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau .

1.2. Các loại luỹ thừa tăng trưởng từ công thức luỹ thừa 12 cơ bản

Dạng 1: Công thức luỹ thừa lớp 12 với số mũ nguyên

Cho n là một số ít nguyên dương. Với a là một số thực tuỳ ý, luỹ thừa bậc n của a là tích của n thừa số a. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên cũng giống định nghĩa chung về luỹ thừa. Ta có công thức luỹ thừa tổng quát như sau :
USD a ^ n = a. a. a. a … .. a $ ( USD n USD thừa số $ a $ )
Với $ a \ neq 0 $ thì USD a ^ 0 = 1 USD, USD a ^ { – n } = \ frac { 1 } { a ^ n } $
Lưu ý :

• USD 0 ^ n USD và USD 0 ^ { – n } $ không có nghĩa
• Luỹ thừa với số mũ nguyên có các đặc thù tựa như của luỹ thừa với số mũ nguyên dương .

Dạng 2: Công thức luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực USD a USD dương và số hữu tỉ USD r = \ frac { m } { n } $, trong đó USD m \ in \ mathbb { Z } $, USD n \ in \ mathbb { N } $, USD n \ geq 2 USD
Luỹ thừa của số USD a $ với số mũ USD r USD là số USD a ^ r USD xác lập bởi :
a ^ r = a ^ { \ frac { m } { n } } = \ sqrt [ n ] { a ^ m } USD
Đặc biệt : Khi USD m = 1 USD : USD a ^ { \ frac { 1 } { n } } = \ sqrt [ n ] { a } $

Ví dụ :

 

Dạng 3: Công thức luỹ thừa với số mũ vô tỉ 

Cho USD a > 0, a \ in \ mathbb { R } $, là 1 số ít vô tỉ, khi đó USD a ^ \ alpha = \ lim_ { n \ rightarrow + \ infty } a ( r ^ n ) USD với USD r ^ n USD là dãy số hữu tỉ thoả mãn $ \ lim_ { n \ rightarrow + \ infty } r ^ n = \ alpha USD
Tính chất của luỹ thừa với số mũ thực :

 

1.3. Tính chất của luỹ thừa

Chúng ta cùng xét các tính chất lũy thừa dưới dạng công thức luỹ thừa lớp 12 sau:

• Tính chất về đẳng thức : Cho a ≠ 0 ; b ≠ 0 ; m, n ∈ R, ta có :

Tính chất về bất đẳng thức :

• So sánh cùng cơ số : Cho m, n ∈ R. Khi đó :
  • Với USD a > 1 $ thì $ a ^ m > a ^ n \ Rightarrow m > n USD

  • Với $0an\Rightarrow m

• So sánh cùng số mũ :
  • Với số mũ dương USD n > 0 USD : USD a > b > 0 \ Rightarrow a ^ n > b ^ n USD

  • Với số mũ âm $n<0$: $a>b>0\Rightarrow a^n

2. Bộ công thức luỹ thừa lớp 12

Về cơ bản, các em cần nắm vững những công thức luỹ thừa lớp 12 căn bản trong bảng sau:

Ngoài ra, luỹ thừa 12 còn có 1 số ít công thức luỹ thừa khác trong các trường hợp đặc biệt quan trọng như luỹ thừa của số e, công thức luỹ thừa của một luỹ thừa, đơn cử như sau :

• Luỹ thừa của số $e$:

Số USD e $ là hằng số toán học quan trọng, giao động 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số $ e $ được định nghĩa qua số lượng giới hạn sau :
USD e = \ lim_ { n \ rightarrow \ infty } ( 1 + \ frac { 1 } { n } ) ^ n USD

Hàm $ e USD mũ, được định nghĩa bởi USD e = \ lim_ { n \ rightarrow \ infty } ( 1 + \ frac { 1 } { n } ) ^ n USD ở đây USD x USD được viết như số mũ vì nó thỏa mãn nhu cầu đẳng thức cơ bản của lũy thừa USD e ^ { x + y } = e ^ x. e ^ y $
Hàm $ e USD mũ xác lập với tổng thể các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của USD x USD .
Có thể chứng tỏ ngắn gọn rằng hàm USD e USD mũ với USD x USD là số nguyên dương k chính là USD e ^ k USD như sau :

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng USD e ^ { x + y } $ thỏa mãn nhu cầu đẳng thức lũy thừa khi USD x USD và $ y $ là các số nguyên dương. Kết quả này cũng hoàn toàn có thể lan rộng ra cho toàn bộ các công thức luỹ thừa 12 có số không phải là số nguyên dương .

• Hàm luỹ thừa với số mũ thực:

Công thức lũy thừa 12 với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng số lượng giới hạn của các số hữu tỷ .
Logarit tự nhiên $ ln ( x ) USD là hà ngược của hàm USD e USD mũ USD e ^ x USD. Theo đó USD lnx USD là số USD b USD sao cho USD x = e ^ b USD

Nếu a là số thực dương, USD x USD là số thực bất kể ta có $ a = elna USD nên nếu USD a ^ x USD được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có :
USD a ^ x = ( e ^ { lna } ) ^ x = e ^ { x.lna } $

Điều này dẫn tới định nghĩa công thức luỹ thừa: $a^x=e^{x.lna}$ với mọi số thực $x$ và số thực dương $a$.

Trên đây là tổng hợp toàn bộ lý thuyết và công thức luỹ thừa cần nhớ. Chúc các em ôn tập thật tốt nhé!

Source: https://taimienphi.club
Category: Chưa phân loại